Bài toán đạn bay

ta giới hạn xét ở các vận tốc nhỏ , khi đó thì lực ma sát của không khí tỷ lệ bậc nhất với vận tốc : $F_{ms}=\beta r'$

thời điểm ban đầu :
$r\left(0\right)=0$
$V\left(0\right)=\left(V_0 \cos \alpha\right)e_y + \left(V_0 \sin \alpha\right)e_z$

phương trình chuyển động :

$mr'' = -\beta r' -mg.e_z$

$\Rightarrow$ $V' + \dfrac{\beta}{m} V = -g.e_z
$
nhân hai vế phương trình trên với $e^{\dfrac{\beta}{m} t}$ :

$V'.e^{\dfrac{\beta}{m}t} + \dfrac{\beta}{m} V.e^{\dfrac{\beta}{m} t}=-g.e^{\dfrac{\beta}{m} t}.e_z$

bây giờ thì ta thấy việc nhân một lượng như vậy rất là có lợi khi tích phân hai vế :

$V.e^{\dfrac{\beta}{m} t}= - \int g.e^{\dfrac{\beta}{m} t}.e_z = -g\dfrac{m}{\beta}.e^{\dfrac{\beta}{m} t}.e_z + C_1$

xác định $C_1$ dựa vào điều kiện ban đầu
$\Rightarrow$ $C_1 = V\left(0\right) + g\dfrac{m}{\beta}.e_z
$
vậy ta được biểu thức của V(t) :

$V= -g\dfrac{m}{\beta}.\left(1-e^{- \dfrac{\beta}{m} t}\right).e_z + V\left(0\right).e^{- \dfrac{\beta}{m} t}$

tích phân lên , được biểu thức của r(t):
$r= -g\dfrac{m}{\beta}.\left(t + \dfrac{m}{\beta}e^{- \dfrac{\beta}{m} t}\right).e_z - V\left(0\right).\dfrac{m}{\beta} .e^{- \dfrac{\beta}{m} t} + C_2 $

bây giờ lại xác định $C_2$ từ điều kiện ban đầu , được kết quả cuối ( tự làm )

Click để xem thêm...